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第1268章（第3页）

上辈子是洛伦兹的同学应该都知道。

自由场情景下洛伦兹变换不改变场的形式，矩阵D决定了场的变换方式，所以只要考虑群的性质就可以了。

而W又是小群，对于有质量粒子场想要做出SO（3）群的不可约幺正表示，只要考虑右边的湮灭算符就行。

这种计算对于赵忠尧这样的大佬来说并不算什么难题，因此很快赵忠尧便写下了对应的步骤：

“先从动量算符入手，p^=－indd……”

“当湮灭算符作用在基态上时得到零，即a－ψa=0，因子n2nmω可以约掉……”

“然后再做出无量纲化的共轭复振幅算符，它的时间演化就是乘上eiωt相位变化……”

十多分钟后。

赵忠尧轻轻放下笔，露出了一道若有所思的表情：

“咦……谐振子居然有两个解析解？”

随后他又看向了一旁同时在计算的胡宁和朱洪元二人，问道：

“老胡，洪元同志，你们的结果呢？”

胡宁朝他扬了扬手中的算纸：

“我也是两个解。”

朱洪元的答案同样简洁：

“我也是。”

见此情形，老郭不由眯了眯眼睛。

他所计算的是SO（1）和SO（3）群的粒子数算符，虽然前置条件是单粒子态的算符只取决于延迟时刻的位置和速度，但这个假设其实和现实几乎无异。

而根据计算结果显示。

这个模型在数学上具备两个解析解，对应的是量子所述的玻色子规范场。

其中一个解析解对应的自旋为1，另一个解析解对应的自旋则为0。

而自旋为零在场论中对应的便是……

标量概念。

这其实很好理解。

量子场论中使用的的自然单位进行计算，真空中的光速c=约化普朗克常数n=1，时空坐标x=（x1，x2，x3，x4）=（x，y，z，it）=（X，it），偏微分算符a=（a1，a2，a3，a4）=（a／ax，a／ay，a／az，a／iat）=（a，－iat）=（▽，－ia／at）

狭义相对论的能量动量关系式是E^2=P^2＋m^2，让能量E用能量算符ia／at替换，动量P用动量算符－i▽替换，就可以得到－a^2／at^2=－▽^2＋m^2，即▽^2－a^2／at^2－m^2=0

让它两边作用在波函数Ψ上得（a^2－m^2）Ψ=0，这就是大名鼎鼎的克莱因－戈登场方程。

算符a^2在洛伦兹变换下是四维标量，即a^2=a^2静质量的平方m^2是常数。

要使克莱因－戈登场方程具有洛伦兹变换的协变，即将方程（a^2－m^2）Ψ=0时空坐标进行洛伦兹变换后得到的（a^2－m^2）Ψ=0形式不变，唯一要求就是洛伦兹时空坐标变换后的波函数Ψ=Ψ就达到目的了，这样的场叫标量场。

如果让洛伦兹变换特殊一点，保持时间不变，而在空间中旋转，这样旋转后的波函数Ψ（X，t）=exp（－iS·α）Ψ（X，t）。

这就是说在时间t不变的情况下，波函数Ψ（X，t）的空间坐标矢量X在角动量S方向旋转无穷小α角后变成矢量X。

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